J'ai eu le même probleme et j'avais fait un post sous le nom de corto il y a quelques années.
Le problème avait été recontré par d'autres freewindeurs.
L'essence déborde dans les carbus, coule dans la boite de filtre à air.
De la elle redescend dans le bloc moteur par le tuyau de reniflard servant normalement à recycler les vapeurs d'huile.
La cause : des joints de robinet et des pointeaux de carbu fatigués, ayant acheté une moto longtemps inutilisée.
Pour les pointeaux on trouve facilement des kits de réparation de carbu, par exemple chez equip moto sur internet (ref 68000000 (autour de 13 € ht par carbu).
Pas d'intéret chez eux, mais cela permet de doner une référence précise.
Le point délicat: remmancher les carbus coté culasse et et coté boite à air.
Pour le robinet il seulement vendu complet chez suzuki, pas le kit de joints seul.
Diverses variantes de ce robinet sont montées sur d'autres suzuki ou japonaises, j'avais trouvé un kit joint chez equip moto
10007965 | Kit réparation robinet d'essence suzuki DR 350 S, L, M, N, P, R, STOCK 16,95 €
Bien sur vidanger le moteur pour remplacer l'huile polluée d'essence.
Un conseil de sécurité:
Bien nettoyer la boite à air pour éviter qu'un reste d'essence prenne feu au démarrage.
Un extincteur à proximité est une bonne précaution.
Depuis c'est OK, faire toutefois attention à ne pas laisser le robinet en position pri, dans cette position le robinet à dépression reste ouvert meme à l'arret, et les carbus laissent toujours passer de l'essence petit à petit.
Bonne réparation.